Zahřívání kapaliny
Zahříváme-li pozvolna tenkou vrstvu kapaliny, mikroskopický pohled by zpočátku ukázal neuspořádaný pohyb molekul účastnících se vedení (kondukce) tepla. Teplo se šíří vedením v souladu s Fourierovým zákonem vedení tepla. Závislost teploty na vzdálenosti ode dna nádoby z je dána vztahem:
(1)
kde T1 je teplota kapaliny u dna nádoby (T1 se zahříváním dna zvyšuje), H je výška kapaliny, ΔT = T1 – T2, T2 je teplota kapaliny při hladině.
Obr.1: Schéma konvekčních válců
Systém můžeme popsat tzv. Rayleighovým číslem (Ra), které závisí na rozdílu teplot ΔT a vlastnostech kapaliny:
(2)
kde β je součinitel teplotní roztažnosti, g je konstanta tíhového zrychlení, k součinitel teplotní vodivosti, n součinitel kinematické viskozity. Vrstvy kapaliny v horní části systému jsou hustší, tedy hmotnější, než ve spodní části.
Při určité kritické hodnotě Rayleighova čísla Rakr tíha horní vrstvy kapaliny převládne nad dosud stabilizujícími viskózními silami. V systému nastává konvekční proudění.
Ohřev spodních vrstev kapaliny vede k jejich expanzi, snížení hustoty a jejich stoupání působením vztlaku směrem vzhůru. Chladnější vrstvy v horních částech kapaliny klesají směrem ke dnu. Proti tomuto pohybu částí kapaliny působí viskózní síly a chaotický pohyb tepelné vodivosti. Výsledkem těchto opačných tendencí je makroskopický pohyb kapaliny ve tvaru válců.
Při zvyšování Rayleighova čísla nad Rakr (např. zvyšováním ΔT) stoupá skokově i počet válců v jednotkovém objemu (odpovídá různým stacionárním stavům) a následně se mohou objevovat i chaotické režimy (může také docházet k podélnému zprohýbání válců).
Rayleigh-Bénardovu nestabilitu lze popsat systémem nelineárních rovnic (viz text vpravo). Jejich zjednodušením je Lorenzův model, jehož výsledné rovnice po grafickém znázornění představují tzv. podivný atraktor s fraktálovou strukturou. Lorenz je též autorem myšlenkového experimentu, kdy jsou konvekční válce nahrazeny vodním kolem.
Obr.2: Edward Norton Lorenz (1917 – 2008) americký matematik a meteorolog, působící v oblasti teorie chaosu a vynálezce pojmu podivný atraktor (zdroj).
Lorenzovo kolo
První slavný chaotický systém, objevený Edwardem Lorenzem, přesně odpovídá mechanickému zařízení: vodnímu kolu. Toto jednoduché zařízení je schopno překvapivě komplikovaného chování.
Rotace vodního kola má některé vlastnosti společné s rotujícími válci tekutiny v procesu konvekce. Vodní kolo představuje vlastně řez tímto válcem. Oba systémy jsou poháněny rovnoměrně - vodou nebo teplem a oba uvolňují energii. Kapalina ztrácí teplo, nádoby ztrácejí vodu. Dlouhodobé chování obou systémů záleží na tom, jak velká je hnací síla. Voda rovnoměrně stéká shora.
Pokud je proudění vody do vodního kola pomalé, horní nádoba se dostatečně nenaplní, nepřekoná tření a kolo se neroztočí. (Stejně tak v tekutině, není-li teplo dostatečné, tekutina nepřekoná viskozitu a nedojde k pohybu).
Obr. 4: Lorenzovo vodní kolo (Gleick, 1996).
Je-li proudění rychlejší, hmotnost horní nádoby uvede kolo do pohybu (vlevo). Otáčky vodního kola mohou dosáhnout takové hodnoty, že pokračují rovnoměrnou rychlostí (uprostřed).
Jestliže se kolo otáčí příliš rychle (vlevo), nádoby mají málo času, aby se naplnily. (Podobně má tekutina v rychle se točícím konvekčním válci málo času na to, aby absorbovala teplo). Při rychlém otáčení navíc nádoby v dolní úvrati mohou začít stoupat na druhou stranu dříve, než se stačí vyprázdnit, mohou otáčení zpomalit a poté obrátit jeho směr.
Lorenz zjistil, že z dlouhodobého hlediska se smysl otáčení může změnit mnohokrát, otáčení se nikdy neustálí v rovnoměrném tempu a nikdy se neopakuje předpověditelným způsobem.
****************************************************************************************
Literatura:
Coveney P., Highfield R.: Mezi chaosem a řádem, Mladá fronta, Praha 2003.
Duršpek J. : Moderní termodynamika v chemických a biologických procesech, Plzeň 2005.
Gleick J.: Chaos, Ando Publishing, Brno, 1996
Horák J., Krlín L.: Deterministický chaos, Academia, Praha 1996.
Štrunc M., Kheilová M.: Příklady vzniku disipativních struktur v nerovnovážných, nelineárních systémech, VUT Brno, 1998.
Kvantitativní popis Rayleighovy-Bénardovy nestability
Kvantitativně lze Rayleighovu-Bénardovu konvekci popsat pomocí systému nelineárních rovnic, vyjadřujících v podstatě bilancí hmotnosti, hybnosti a energie (s uvážením hraničních podmínek). Jsou to základní rovnice hydrodynamiky: Navierova-Stokesova rovnice, rovnice kontinu-ity a rovnice vedení tepla.
Hydrodynamiku nehomogenní tekutiny a charakter konvektivního toku v ní lze v řadě případů popsat, jestliže tekutina splňuje Boussinesqovu aproximaci, kdy kromě její hustoty uvažujeme další látkové vlastnosti tekutiny konstantní a teplo vznikající jako důsledek vnitřního tření tekutiny zanedbáváme.
Navier - Stokesova rovnice: 
s nelineárním členem 
Rovnice kontinuity: 
Rovnice vedení tepla: 
s nelinárním členem 
Zde je v lokální rychlost toku, v kinematická viskozita, ρo objemová střední hustota tekutiny, p tlak a T je termodynamická teplota. Sčítanec gβT je výslednicí vztlakové a gravitační síly působící na jednotku hmotnosti; g je tíhové zrychlení, k tepelná vodivost, β tepelná roztažnost a Q je tepelná funkce. Stupeň nehomogenity tekutiny charakterizuje výraz pro lokální hustotu ρ = ρ0 (1 - βT).
Řešení těchto rovnic v analytickém tvaru je obtížné, proto se užívají numerické metody, nebo se výchozí rovnice zjednodušují. Příkladem zjednodušení je Lorenzův model.
Lorenzův model
Po několika úpravách, substitucích a aplikaci Galerkinovy metody (podrobný výpočet zde) Lorenz nakonec získal soustavu tří obyčejných diferenciálních rovnic:
kde tečkou nad příslušnými koeficienty jsou vyznačeny derivace podle bezrozměrného času, pro který a další parametry platí:
Proměnná X odpovídá složce rychlosti toku (je úměrná úhlové rychlosti rotace konvekční buňky v tekutině) a proměnné Y, Z odpovídají členům Fourierova rozvoje teploty: Y udává rozdíl teplot mezi výstupnými a sestupnými proudy v zahřívané tekutině a Z odchylku vertikálního profilu rozložení teploty od profilu lineárního.
Pokud zobrazíme závislost jednotlivých proměnných v trojrozměrném grafu nevede křivka do jediného bodu (což bychom očekávali, pokud by se systém ustálil v rovnovážném stavu), ani nevzniká limitní cyklus (který bychom předpokládali u periodického chování). Namísto toho trojrozměrný graf zobrazuje složitou křivku s fraktálovou strukturou.
Tvar křivky signalizuje naprostou neuspořádanost, neboť ani jeden bod obrazce se neopakuje (pak by se systém choval periodicky). Zároveň ovšem signalizuje nový druh uspořádanosti. Na následujícím obrázku je fázový portrét Lorenzova atraktoru, získaný numerickou integrací systému rovnic pro parametry:
Trajektorie řešení vycházející z počátečního bodu O = (0, 0, 0) v čase t = 0 nejprve udělá jednu smyčku doprava, potom několik oběhů vlevo. Poté opět vpravo a tak pokračuje dále zcela neregulárním způsobem.
Obr. 3: Lorenzův atraktor (Horák, 1996).
Na obrázku je 50 takových smyček, řešení, která leží pod rovinou z = 27, jsou vyobrazena tečkovaně. Jestliže místo počátečního bodu O = (0, 0, 0) vybereme jiný počáteční bod, blízký původnímu, nové řešení se od původního bude vzdalovat velmi rychle. Setkáváme se zde s citlivou závislostí na počátečních podmínkách.
V rozsáhlé světové literatuře týkající se chaotického chování dynamických systémů je stále nejčastěji citovanou prací průkopnická práce E. N. Lorenze. Jejím původním cílem bylo na vhodném modelu ilustrovat potíže vznikající při numerické předpovědi počasí.
Až později, poté co matematikové odhalili nesmírný význam myšlenek obsažených v práci, se prokázalo, že Lorenzova studie daleko překračuje rámec meteorologie a pronikavě zasahuje do dřívějších představ o topologii řešení nelineárních diferenciálních rovnic.
Ještě do začátku šedesátých se předpokládalo, že topologie je vyčerpána singulárními trajektoriemi (uzlem, sedlem, ohniskem a limitním cyklem) a nesingulárními trajektoriemi, které se k singulárním trajektoriím přibližují nebo se od nich vzdalují. Právě Lorenzova práce, kde soustava rovnic vede na podivný Lorenzův atraktor, ukázala dosavadní omyl.